Производно срещу диференциал

При диференциалното смятане производното и диференциалът на дадена функция са тясно свързани, но имат много различни значения и се използват за представяне на два важни математически обекта, свързани с диференцируемите функции.

Какво е производно?

Производното на функция измерва скоростта, с която стойността на функцията се променя, тъй като нейният вход се променя. В многопроменливите функции промяната на стойността на функцията зависи от посоката на промяна на стойностите на независимите променливи. Следователно в такива случаи се избира конкретна посока и функцията се диференцира в тази конкретна посока. Това производно се нарича насочена производна. Частичните производни са специален вид деривати на посоката.

Какво е диференциал?

Използването на ограничения може да завърши с това определение, както следва. Да приемем, че ∆x е промяната в x в произволна точка x и ∆f е съответната промяна във функцията f. Може да се покаже, че ∆f = f (1) (x) ∆x + ϵ, където ϵ е грешката. Сега, границата ∆x → 0∆f / ∆x = f (1) (x) (използвайки по-горе заявеното определение на производна) и по този начин ∆x → 0ϵ / ∆x = 0. Следователно е възможно да се заключи че, ∆x → 0ϵ = 0. Сега, обозначавайки ∆x → 0 ∆f като df и ∆x → 0 ∆x като dx, определението за диференциала е строго получено.